Μια ξεχασμένη(;) απόδειξη

Μετά από μια συζήτηση την Τρίτη για τους υπολογιστές και το δυαδικό σύστημα θυμήθηκα μια απόδειξη που μας είχαν κάνει στο ΕΜΠ για το ότι το δυαδικό δεν είναι το καλύτερο σύστημα αναπαράστασης της πληροφορίας και πως η επιλογή του ήταν περισσότερο τεχνοοικονομική. Ξέθαψα λοιπόν το βιβλίο της Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών και να:

Έστω πως έχουμε ένα σύστημα που αναπαριστά την πληροφορία σε βάση R και με μέγεθος λέξης k. Τότε όλες οι δυνατές αναπαραστάσεις είναι Α = R^k, όπου για κάθε ψηφίο της λέξης υπάρχουν R σύμβολα.

Τότε λοιπόν χρειαζόμαστε Ε = kR σύμβολα για να αναπαραστήσουμε τα R^k string μήκους k. Για παράδειγμα για k = 8 και R = 2 χρειαζόμαστε Ε = 16 σύμβολα^*, ενώ για k = 2 και R = 16 χρειαζόμαστε Ε = 32. (Παρατηρείστε πως στο παράδειγμα ισχύει πως 2⁸ = 16² = 256).

Αναζητούμε λοιπόν τις συνθήκες εκείνες ώστε το kR να είναι minimum, ενώ ταυτόχρονα το R^k να είναι σταθερό:

Από το A = R^k έχουμε πως k = ln(A) / ln (R) το οποίο με βάση τη σχέση E = kR μας δίνει:

E = Rln(A) / ln(R)

Παραγωγίζοντας ως προς R βρίσκουμε πως το E ελαχιστοποιείται για R = e. Για να φανεί και οπτικά, για A = 2⁸, 2¹⁶ και 2³²:

[*] – Σκέψου τα σαν μαύρα και άσπρα πούλια του τάβλι. Χρειάζεσαι 8 μαύρα και 8 άσπρα για να μπορείς να παράγεις όλους τους συνδιασμούς.